Åtte tommer per mile i andre - en flatjordsfetisj
De siste årene har det vokst fram en subkultur på nettet med mennesker som av en eller annen grunn har fått det for seg at jorda ikke er eller ikke kan være 🌍 kuleformet, men at den må være flat. Begrunnelsene for dette kan variere, men noen vanlige er:
$$\begin{equation}
\label{flatjordstommer}
h_{\text{in}}=8\cdot d_{\text{mi}}^2
\end{equation}$$
Her er \(h_{\text{in}}\) er hvor mye av et objekt som skal være skjult, målt i tommer (1 in = 2,54 cm) og \(d_{\text{mi}}\) er avstanden til objektet, målt i miles (1 mi = 1.60934 km). For eksempel, om vi har et objekt som er 10 mi (16 km) unna, skal 800 tommer (20 meter) av objektet være skjult under horisonten. Selv om selve utledningen av formelen er riktig og grei nok, så faller det hele på tolkningen av den. Under skal vi utlede formelen, og vi skal forklare hvorfor flatjordernes tolkning og bruk av den er feil.
Vi har her en observatør (markert som et øye) og et objekt (markert som et tårn). Avstanden i rett linje mellom disse er \(d=d_1+d_2\), som er summen av avstanden fra observatør til horisont og fra horisont til objekt. Observatøren befinner seg i en høyde \(h_1\) over havoverflaten. Vi antar her at vi ser ut over flatt hav, for har vi objekter mellom observatør og objekt (som for eksempel terreng) kompliseres beregningene. Det vil ikke være uoverkommelig, men det blir bare mer komplisert, og må gjøres i flere steg. Vi kan nå begynne å regne.
$$\begin{equation*}
d_1^2 = (R+h_1)^2 - R^2
\end{equation*}$$
Vi ser at siden $(R+h_1)^2=R^2+2Rh_1+h_1^2=h_1(2R+h_1) + R^2$ forsvinner begge $R^2$-leddene, og vi får
$$\begin{equation*}
d_1^2 = 2Rh_1+h_1^2
\end{equation*}$$
eller, ved å ta kvadratroten,
$$\begin{equation}
\label{d1}
d_1 = \sqrt{2Rh_1+h_1^2}
\end{equation}$$
Vi gjør nå tilsvarende for den andre trekanten i figur 1, men der vil vi regne ut høyden \(h_2\):
$$\begin{equation}
\label{h2pytagoras}
(R+h_2)^2 = R^2 + d_2^2
\end{equation}$$
Snur vi dette med hensyn på \(h_2\), får vi
$$\begin{equation*}
h_2 = \sqrt{R^2+d_2^2} - R
\end{equation*}$$
Vi vet fra før at \(d_2=d-d_1=d-\sqrt{2Rh_1+h_1^2}\), så vi setter det inn i uttrykket, og får
$$\begin{equation} \label{h2}
h_2(h_1,d) = \sqrt{R^2+\left[\;d-\sqrt{2Rh_1+h_1^2}\;\right]^2} - R
\end{equation}$$
Vi ser igjen på figur 1, og ser at
$$\begin{equation}
\cos\alpha_2 = \frac{R}{R+h_2}
\quad\text{og}\quad
\sin\alpha_1=\frac{d_1}{R+h_1}
\end{equation}$$
Snur vi disse med hensyn på henholdsvis $h_2$ og $\alpha_1$, får vi
$$\begin{equation}
\label{h2alpha}
h_2 = \frac{R}{\cos\alpha_2} - R
\quad\text{og}\quad
\alpha_1 = \sin^{-1}\left(\frac{d_1}{R+h_1}\right)
\end{equation}$$
Bruker vi at $\alpha_2=\alpha-\alpha_1=s/R-\alpha_1$, og $d_1$ fra ligning $\eqref{d1}$, blir
- Bibelen sier det. Dette virker å være den viktigste begrunnelsen for mange, og kommer krydret med diverse bibelsitater som henviser til bibelsteder som omtaler jordens fire hjørner, eller andre sitater som man må bruke en svær porsjon velvilje kanskje kan tolkes i en slik retning.
- Jeg klarer ikke se det selv/skjønne hvordan jorda kan være rund, altså kan den ikke være rund. Dette er en slutningsfeil av typen argument fra ignoranse (argument from personal incredulity), hvor slutningen er at noe ikke kan være tilfelle fordi de selv ikke kan skjønne hvorfor eller hvordan.
- Det er en konspirasjon. Ideen her er at NASA, ESA, JAXA og alle andre romfartsorganisasjoner lyver om at jorda egentlig er flat, for da ville de miste finansieringen sin. I tillegg står regjeringene og statsapparatet i alle jordens land bak en massiv konspirasjon/dekkoperasjon for å holde kunnskapen om jordas virkelige form (dvs. flat) skjult for verdens befolkning. Det er uvisst hva formålet med dette skal være.
Flatjordernes argument
Argumentet er en formel som flatjorderne har trykket til sitt bryst. De hevder den beskriver hvor mye av et objekt som skjules bak horisonten, om jorda hadde vært rund. Den refereres av flatjorderne som eight inches per mile squared og ser slik ut:$$\begin{equation}
\label{flatjordstommer}
h_{\text{in}}=8\cdot d_{\text{mi}}^2
\end{equation}$$
Her er \(h_{\text{in}}\) er hvor mye av et objekt som skal være skjult, målt i tommer (1 in = 2,54 cm) og \(d_{\text{mi}}\) er avstanden til objektet, målt i miles (1 mi = 1.60934 km). For eksempel, om vi har et objekt som er 10 mi (16 km) unna, skal 800 tommer (20 meter) av objektet være skjult under horisonten. Selv om selve utledningen av formelen er riktig og grei nok, så faller det hele på tolkningen av den. Under skal vi utlede formelen, og vi skal forklare hvorfor flatjordernes tolkning og bruk av den er feil.
Hvordan det faktisk er
La oss starte med å tegne opp geometrien i problemet (figur 1): |
| Figur 1. Geometrien, slik den faktisk er på en rund jord. R er jordens radius, \(h_1\) er observatørens høyde over havet, \(h_2\) er hvor stor del av et objekt som skjules. Avstand i rett linje fra observatøren til horisonten er \(d_1\), mens avstanden fra horisonten til objektet er \(d_2\) Tilsvarende avstander målt langs bakken er henholdsvis \(s_1\) og \(s_2\). Vinklene \(α_1\) og \(α_2\) måler vinkelen fra horisonten og til henholdsvis observatøren og objektet, sett fra jordens sentrum. |
Vi har her en observatør (markert som et øye) og et objekt (markert som et tårn). Avstanden i rett linje mellom disse er \(d=d_1+d_2\), som er summen av avstanden fra observatør til horisont og fra horisont til objekt. Observatøren befinner seg i en høyde \(h_1\) over havoverflaten. Vi antar her at vi ser ut over flatt hav, for har vi objekter mellom observatør og objekt (som for eksempel terreng) kompliseres beregningene. Det vil ikke være uoverkommelig, men det blir bare mer komplisert, og må gjøres i flere steg. Vi kan nå begynne å regne.
Avstand langs siktelinjen
Vi bruker Pytagoras' læresetning for å finne avstanden \(d_1\) fra observatøren til horisonten:$$\begin{equation*}
d_1^2 = (R+h_1)^2 - R^2
\end{equation*}$$
Vi ser at siden $(R+h_1)^2=R^2+2Rh_1+h_1^2=h_1(2R+h_1) + R^2$ forsvinner begge $R^2$-leddene, og vi får
$$\begin{equation*}
d_1^2 = 2Rh_1+h_1^2
\end{equation*}$$
eller, ved å ta kvadratroten,
$$\begin{equation}
\label{d1}
d_1 = \sqrt{2Rh_1+h_1^2}
\end{equation}$$
Vi gjør nå tilsvarende for den andre trekanten i figur 1, men der vil vi regne ut høyden \(h_2\):
$$\begin{equation}
\label{h2pytagoras}
(R+h_2)^2 = R^2 + d_2^2
\end{equation}$$
Snur vi dette med hensyn på \(h_2\), får vi
$$\begin{equation*}
h_2 = \sqrt{R^2+d_2^2} - R
\end{equation*}$$
Vi vet fra før at \(d_2=d-d_1=d-\sqrt{2Rh_1+h_1^2}\), så vi setter det inn i uttrykket, og får
$$\begin{equation} \label{h2}
h_2(h_1,d) = \sqrt{R^2+\left[\;d-\sqrt{2Rh_1+h_1^2}\;\right]^2} - R
\end{equation}$$
Her har vi altså et korrekt uttrykk, uten noen avrundinger, som beskriver hvor mye av den nederste delen av et objekt som er skjult bak horisonten når observatøren befinner seg en høyde \(h_1\) over havet og objektet er en avstand \(d\) unna. Merk at avstanden mellom observatør, horisont og objekt her er målt i en rett linje. Dette er en grei nok tilnærming for relativt korte avstander, og hvor det er praktisk å måle avstanden til et objekt slik. Men for større avstander og i andre sammenhenger er det best/mest praktisk å måle avstanden langs bakken. Vi skal nå utlede en tilsvarende formel for når vi måler avstand langs bakken.
Avstand langs bakken
Dersom vi heller vil bruke avstanden målt langs bakken, kan vi lett regne ut det også. Vi ser i figur 1 at avstanden fra observatøren til horisonten målt langs bakken er $s_1$ og avstanden fra horisonten og fram til objektet er $s_2$. Målt fra observatør til objekt er avstanden $s=s_1+s_2$. Sett fra jordas sentrum er vinkelen mellom observatør og objekt $\alpha=\alpha_1+\alpha_2$.Vi ser igjen på figur 1, og ser at
$$\begin{equation}
\cos\alpha_2 = \frac{R}{R+h_2}
\quad\text{og}\quad
\sin\alpha_1=\frac{d_1}{R+h_1}
\end{equation}$$
Snur vi disse med hensyn på henholdsvis $h_2$ og $\alpha_1$, får vi
$$\begin{equation}
\label{h2alpha}
h_2 = \frac{R}{\cos\alpha_2} - R
\quad\text{og}\quad
\alpha_1 = \sin^{-1}\left(\frac{d_1}{R+h_1}\right)
\end{equation}$$
Bruker vi at $\alpha_2=\alpha-\alpha_1=s/R-\alpha_1$, og $d_1$ fra ligning $\eqref{d1}$, blir
$$\begin{equation}h_2 = \frac{R}{ \cos\left(\frac{s}{R} - \alpha_1\right)}-R\quad\text{og}\quad\alpha_1 = \sin^{-1}\left( \frac{\sqrt{2Rh_1+h_1^2}}{R+h_1} \right) \end{equation}$$
Dette kan vi så enkelt slå sammen til ett uttrykk:
$$\begin{equation}\label{h2buelengde}h_2(h_1,s) = \frac{R}{ \cos\left[\frac{s}{R} - \sin^{-1}\left(
\frac{\sqrt{2Rh_1+h_1^2}}{R+h_1} \right)\right]}-R\end{equation}$$
(Obs! Merk at det her forutsettes bruk av radianer i de trigonometriske funksjonene, så pass på at kalkulatoren eller verktøyet du bruker er satt i "Rad"-modus, ellers vil du få feil svar).
(Obs! Merk at det her forutsettes bruk av radianer i de trigonometriske funksjonene, så pass på at kalkulatoren eller verktøyet du bruker er satt i "Rad"-modus, ellers vil du få feil svar).
Som vi ser er hverken ligning $\eqref{h2}$ eller ligning $\eqref{h2buelengde}$ den samme som flatjordernes favorittformel $\eqref{flatjordstommer}$. Hva skjer? Jo, "åtte tommer per mile kvadrert" er en tilnærmet og forenklet form av ligning $\eqref{h2pytagoras}$. Vi skal nå gjøre denne utledningen.
8 inches per mile squared
For å lede ut denne formelen må vi endre figuren litt. Vi gjør det på samme måte som i flatjordernes "bibel", Zetetic Astronomy av Samuel "Parallax" Rowbotham. Se figur 2 under: |
| Figur 2. Geometrien, i henhold til "flatjordsprofeten" Samuel "Parallax" Rowbotham. |
Vi endrer nå litt på figur 1, slik at den blir seende slik ut (figur 3):
 |
| Figur 3. Horisontberegninger, slik flatjordere ofte gjør det. Flatjordsobservatøren (rødt øye) har i prinsippet øyet helt nede i vannskorpa. Den røde linjen med lengde \(d_\text{drop}\) er en tangent til sirkelen (dvs. parallellt med havoverflaten akkurat der observatøren er). Høyden \(h_\text{drop}\) er den radielle avstanden fra jordoverflaten og opp til forlengelsen av tangenten fra flatjordsobservatøren. \(R\) er jordens radius. Vinkelen \(α\) måler vinkelen mellom observatøren og objektet, sett fra jordens sentrum. |
Merk at i både figur 2 og figur 3 er vinklene $\alpha$, $\alpha_1$ og $\alpha_2$ sterkt overdrevet for å gjøre det lettere å tegne skissen, og det gjør at $h_\text{drop}$ blir tegnet inn mye større enn den ville vært i virkeligheten. I virkeligheten er $h_\text{drop}$ mye mindre en jordens diameter, altså $h_\text{drop}\ll 2R$.
Vi tar igjen utgangspunkt i Pytagoras' læresetning, denne gangen skrevet som
$$d_\text{drop}^2 + R^2 = (R + h_\text{drop})^2$$
eller
$$d_\text{drop}^2 = 2Rh_\text{drop} + h_\text{drop}^2 = h_\text{drop}(2R + h_\text{drop})$$
Vi bruker nå at $h_\text{drop}\ll 2R$, slik at $2R+h_\text{drop}\approx 2R$, og
$$d_\text{drop}^2 \approx 2Rh_\text{drop}$$
Dette snur vi med hensyn på $h_\text{drop}$, og får
$$\begin{equation}
h_\text{drop} \approx \frac{1}{2R}d_\text{drop}^2
\end{equation}$$
Nå er vi nesten der – det eneste vi trenger å gjøre nå er å observere at vi må starte med samme enhet på alle størrelsene våre. For å unngå for mange indekser stryker vi "drop"-indexen, og erstatter indeksen med enheter. Her angir "mi" at vi bruker miles:
$$h_{\text{mi}} \approx \frac1{2R_{\text{mi}}}d_{\text{mi}}^2$$
Siden 1 mile (mi) = 1760 yard (yd), 1 yd = 3 fot (ft), og 1 ft = 12 tommer (in), blir 1 mi=1760$\cdot$3$\cdot$12 in=63360 in. Da får vi at
$$h_{\text{mi}}[\text{mi}] = \frac{h_{\text{in}}[\text{in}]}{63360 [\text{in/mi}]} \approx \frac1{2R_{\text{mi}}[\text{mi}]}d_{\text{mi}}^2[\text{mi}^2]$$
Det som står inne i hakeparentesene er enhetene. Setter vi inn jordradiusen $R_\text{mi}=3963$mi og regner ut får vi at
$$h_{\text{in}}[\text{in}] \approx\frac{63360 [\text{in/mi}]}{2\cdot3963[\text{mi}]}d_{\text{mi}}^2[\text{mi}^2]
\approx 7.994[\text{in/mi}]\cdot d_{\text{mi}}^2[\text{mi}^2]$$
$$\begin{equation}
h_\text{drop} \approx \frac{1}{2R}d_\text{drop}^2
\end{equation}$$
Nå er vi nesten der – det eneste vi trenger å gjøre nå er å observere at vi må starte med samme enhet på alle størrelsene våre. For å unngå for mange indekser stryker vi "drop"-indexen, og erstatter indeksen med enheter. Her angir "mi" at vi bruker miles:
$$h_{\text{mi}} \approx \frac1{2R_{\text{mi}}}d_{\text{mi}}^2$$
Siden 1 mile (mi) = 1760 yard (yd), 1 yd = 3 fot (ft), og 1 ft = 12 tommer (in), blir 1 mi=1760$\cdot$3$\cdot$12 in=63360 in. Da får vi at
$$h_{\text{mi}}[\text{mi}] = \frac{h_{\text{in}}[\text{in}]}{63360 [\text{in/mi}]} \approx \frac1{2R_{\text{mi}}[\text{mi}]}d_{\text{mi}}^2[\text{mi}^2]$$
Det som står inne i hakeparentesene er enhetene. Setter vi inn jordradiusen $R_\text{mi}=3963$mi og regner ut får vi at
$$h_{\text{in}}[\text{in}] \approx\frac{63360 [\text{in/mi}]}{2\cdot3963[\text{mi}]}d_{\text{mi}}^2[\text{mi}^2]
\approx 7.994[\text{in/mi}]\cdot d_{\text{mi}}^2[\text{mi}^2]$$
eller rett og slett bare
$$\begin{equation}
h_{\text{in}}\approx 8\cdot d_{\text{mi}}^2
\end{equation}$$
om vi dropper enhetsangivelsene og runder av litt. Og dette er som vi ser det samme som ligning $\eqref{flatjordstommer}$. Vi kan også gjøre samme øvelse med hvilke som helst andre enheter, for eksempel cm og km (med jordradius $R_\text{km}=6371\;\text{km}$), hvor resultatet blir
$$\begin{equation}
h_{\text{cm}}\approx 7.85\cdot d_{\text{km}}^2
\end{equation}$$
Dette er altså ikke noen "magisk" formel; den er i samme form uansett hvilke enheter man bruker. Det eneste som forandrer seg er den numeriske konverteringsfaktoren ($\approx8$ for in/mi og $\approx7.85$ for cm/km).
Vi ser altså at vi trukket flatjordsobservatøren siktelinje slik at den er parallell med jordoverflatens tangent ut mot objektet. Dette er det samme som at observatøren ligger helt nede i vannflata, slik at bølgene skvulper inn på øyeeplet eller kameraobjektivet. Eller, ekvivalent, at flatjordsobservatøren ikke ser mot horisonten (der himmel møter hav) men et stykke over horisonten. Altså har det lite og ingenting å gjøre med situasjonen vi i utgangspunktet prøvde å beskrive. Flatjordere som bruker dette uttrykket for å beregne hvor mye av et objekt som er skjult bak horisonten gjør det derfor enten fordi de ikke vet bedre og ikke skjønner hva de regner ut, eller de gjør det mot bedre vitende, fordi de vet at $h_\text{in}=8\cdot d_\text{mi}^2$ ("8 inches per mile squared") ikke stemmer overens med virkeligheten for slike tilfeller.
Følgende innlegg på flatearthinsanity.blogspot.com:
$$\begin{equation}
h_{\text{in}}\approx 8\cdot d_{\text{mi}}^2
\end{equation}$$
om vi dropper enhetsangivelsene og runder av litt. Og dette er som vi ser det samme som ligning $\eqref{flatjordstommer}$. Vi kan også gjøre samme øvelse med hvilke som helst andre enheter, for eksempel cm og km (med jordradius $R_\text{km}=6371\;\text{km}$), hvor resultatet blir
$$\begin{equation}
h_{\text{cm}}\approx 7.85\cdot d_{\text{km}}^2
\end{equation}$$
Dette er altså ikke noen "magisk" formel; den er i samme form uansett hvilke enheter man bruker. Det eneste som forandrer seg er den numeriske konverteringsfaktoren ($\approx8$ for in/mi og $\approx7.85$ for cm/km).
Vi ser altså at vi trukket flatjordsobservatøren siktelinje slik at den er parallell med jordoverflatens tangent ut mot objektet. Dette er det samme som at observatøren ligger helt nede i vannflata, slik at bølgene skvulper inn på øyeeplet eller kameraobjektivet. Eller, ekvivalent, at flatjordsobservatøren ikke ser mot horisonten (der himmel møter hav) men et stykke over horisonten. Altså har det lite og ingenting å gjøre med situasjonen vi i utgangspunktet prøvde å beskrive. Flatjordere som bruker dette uttrykket for å beregne hvor mye av et objekt som er skjult bak horisonten gjør det derfor enten fordi de ikke vet bedre og ikke skjønner hva de regner ut, eller de gjør det mot bedre vitende, fordi de vet at $h_\text{in}=8\cdot d_\text{mi}^2$ ("8 inches per mile squared") ikke stemmer overens med virkeligheten for slike tilfeller.
Konklusjon
Om du ser 8 inches per mile squared brukt i en diskusjon om hvor mye av et objekt som er skjult bak horisonten, så er det juks, sludder og fanteri!Kilder
Tråden "Jorden er flat" på diskusjon.noFølgende innlegg på flatearthinsanity.blogspot.com:
"Zetetic Astronomy" av Samuel Rowbotham, under pseudonymet "Parallax". Linken går til en innscannet versjon av boka hos flatearthsociety.org.
Kommentarer
Legg inn en kommentar
Usaklige kommentarer og spam vil bli slettet uten forvarsel.